A 17 anni trova un controesempio a una congettura matematica: un’avventura di successo

Recentemente ha destato scalpore la notizia di una liceale che ha risolto un quarantennale problema matematico. Non ho la competenza specifica in analisi armonica per approfondire tecnicamente il risultato. Approfitto, invece, di questo stupefacente evento per parlare di un elemento poco conosciuto della ricerca matematica: il controesempio.

Hanna Cairo, nata nel 2007 nelle Bahamas, è iscritta a un liceo statunitense ma frequenta anche corsi universitari a Berkeley. La sua passione per la matematica l’ha portata ad affrontare, con un coraggio da leonessa, un problema in piedi da decenni: la congettura di Mizohata-Takeuchi. Mentre la maggior parte dei matematici professionisti cercava di dimostrare la congettura, lei ha avuto l’audacia e la capacità di trovare un controesempio.

Intendiamoci, non è un evento che “riscrive la matematica”, come imprudentemente ha scritto qualche commentatore. Dico questo senza nulla togliere all’impresa di una persona che è senz’altro una matematica molto migliore di me. Quello che il pubblico spesso ignora è che ci sono migliaia di congetture, di problemi aperti in matematica. Rubo a un amico una bella descrizione: le congetture sono il modo con cui i matematici aprono la porta al cambiamento. Quello che accade, nella ricerca, è che qualcuno ha un’intuizione, dovuta alla sua esperienza, alla sua fantasia, magari a esperimenti favoriti dal computer.

Formula allora una congettura, cioè una proprietà che crede valida, ma che non sa ancora come dimostrare; e la dimostrazione, si sa, è il timbro con cui un’idea diventa un vero e proprio teorema.

Per dimostrare una congettura occorre una certa fantasia, un grande bagaglio di tecniche matematiche e la capacità di utilizzarle in modo geniale. È stato il caso, per esempio, dell’Ultimo Teorema di Fermat, che ha richiesto a Andrew Wiles anni di lavoro, basato su un lungo giro di teoremi di altri ricercatori. È stato il caso della Congettura di Poincaré, dimostrata da Grigori Perel’man mediante varie tecniche frutto anche del lavoro di altri. Quando una congettura è dimostrata, la matematica ha un nuovo teorema pronto all’uso: un nuovo strumento a disposizione per altre avventure del pensiero.

Ma una congettura può anche essere confutata: basta trovare un controesempio, cioè un esempio che non soddisfi la proprietà congetturata. Mi spiego usando la Congettura di Goldbach, tuttora irrisolta: “Ogni numero pari o maggiore di due si può scrivere come somma di due numeri primi, eventualmente uguali”. Ci sono verifiche sperimentali su milioni di numeri pari, ma finché non c’è una dimostrazione, questo non è un teorema. Però basterebbe trovare un controesempio, cioè un singolo numero pari che non fosse la somma di due numeri primi e puff, la congettura crollerebbe.

Per trovare un controesempio a una congettura occorre un buon bagaglio di tecniche matematiche e una straordinaria, geniale fantasia. È per questo che una ragazzina è riuscita là dove i professionisti avevano fallito. Purtroppo nella storia della matematica rimangono scolpiti i teoremi, cioè le congetture dimostrate, non tanto i controesempi. Ricordo un episodio curioso: nel 1974 i topologi Volodin, Kuznetsov e Fomenko pubblicarono, su un’importante rivista matematica russa, una congettura. Quasi tutto l’articolo di 102 pagine era dedicato alla produzione di un milione di esempi, che risultavano a sostegno della congettura. Da sempre l’American Mathematical Society traduce in inglese i principali articoli di quella rivista e naturalmente tradusse anche quello; invece trascurò, nel 1977, l’articoletto di una pagina in cui un altro russo, Oleg Viro, dava un controesempio!

Un incidente divertente: nel numero di aprile del 1975 Scientific American pubblicò un finto controesempio a quella che era ancora la Congettura dei quattro colori; solo che la traduzione su Le Scienze arrivò in agosto, quando nessuno pensava più ai pesci d’aprile. Un noto matematico italiano ci cascò in pieno e pubblicò una nota in cui sconfessava la rivista.

Le congetture sono affascinanti, sono il mistero, l’avventura. Per parecchio tempo il mio caro amico Carlo Gagliardi ed io lottammo con una congettura topologica. Ogni tanto ci scambiavamo i ruoli: uno a cercare la dimostrazione, l’altro a cercare un controesempio, un po’ come attori con Otello e Iago. Non riuscimmo né a dimostrarla né a confutarla; ma fu bellissimo. Senz’altro è stata meravigliosa, per Hanna Cairo, quest’avventura di successo; confido che ne avrà tante altre.

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